Questão 2

ESPCEX 2021

Matemática

(EsPCEx - 2021) Considere i a unidade imaginária. A soma infinita

$5i-frac{5}{2}- frac{5i}{4}+frac{5}{8} + frac{5i}{16}- frac{5}{32}- frac{5i}{64}...$

onde n-ésimo termo é dado por $frac{5i^{n}}{2^{n-1}}$ (n=1,2,3...), resulta no número complexo cujas partes reais e imaginárias são respectivamente, iguais a

2 e 4

2 e -4

-4 e 2

4 e -2

-2 e 4

Gabarito:

-2 e 4

Resolução:

A sequência forma uma PG infinita, de razão $q=frac{i}{2}$ . Soma de PG infinita:

$S=frac{a_1}{1-q}$

$S=frac{5i}{1-frac{i}{2}}$

$S=frac{10i}{2-i} cdot frac{(2+i)}{(2+i)}$

$S=frac{10i(2+i)}{2^2+1^2}$

$S=frac{10i(2+i)}{5}$

$S=2i(2+i)$

$S=4i-2$

Parte real: -2

Parte imaginária: 4

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