Questão 17
ESPCEX 2021
(EsPCEx - 2021) Dado um dodecaedro regular, exatamente, quantas retas ligam dois de seus vértices mas não pertencem a uma mesma face desse dodecaedro?
60
100
130
160
190
Gabarito:
100
Resolução:
Para resolver essa questão, precisamos saber que um dodecaedro é um sólido platônico em que todas as 12 faces são pentágonos. F=12.
Para calcular o número de arestas, sabemos que cada face tem 5 arestas e cada aresta é compartilhada por 2 faces.
Pela Relação de Euler para polígonos convexos, sabemos que V+F=A+2
V+12=30+2
V=20
Vamos fixar nossa análise em um único vértice V. Em um dodecaedro, cada vértice é o encontro de 3 arestas, vamos então retirar os vértices que estão em uma mesma face que V, pois eles não podem participar da conta, observando a figura, notamos 9 vértices nessa condição, qualquer reta que ligue algum desses vértices e V estará em uma face do dodecaedro. Então dos 19 vértices restantes, podemos escolher 10 para formar uma reta com V: . Para cada vértice temos 10 opções de reta, mas ainda devemos dividir por 2! para retirar os casos repetidos: