Questão 20

ESPCEX 2021

Matemática

(EsPCEx - 2021) Quais as medidas, em centímetros, dos lados do retângulo de maior área que está contido em um triângulo equilátero de lado 8 cm, estando a base do retângulo situada num lado desse triângulo?

$2 ; e 3 sqrt 2$

$4 ; e sqrt 3$

$4 ; e 3 sqrt 2$

$2 ; e 2 sqrt 3$

$4 ; e 2 sqrt 3$

Gabarito:

$4 ; e 2 sqrt 3$

Resolução:

Sejam a e b os lados do retângulo, na horizontal e na vertical, respectivamente, conforme mostra a figura abaixo. Sejam ainda, A, B e C os vértices do triângulo equilátero, o M_o ponto médio de BC, D, E, F, e Gos vértices do retângulo.

AB = BC = CA = 8 cm

Dessa forma, note que, por simetria, os segmentos BF e CG são iguais. Assim, chamando-se de BF = CG = X, segue que

$x+a+x=8Rightarrow 2x=8-a~ herefore~x=4-frac{a}{2}\$

Agora, por semelhança de triângulos entre ΔBFE e ΔBMA, segue que:

$frac{BF}{BM}=frac{EF}{AM}Rightarrowfrac{4-frac{a}{2}}{4}=frac{b}{frac{8sqrt{3}}{2}}Rightarrow frac{4-frac{a}{2}}{4}=frac{b}{4sqrt{3}}~ herefore~b=left(4-frac{a}{2} ight)sqrt{3} \ \$

Seja S a área do retângulo. Assim, temos que:

$S=acdot b=acdotleft(4-frac{a}{2} ight)sqrt{3}~ herefore~S=left(4a-frac{a^2}{2} ight)sqrt{3}\ \$

Perceba que S se trata de uma função do segundo grau em a. Dessa forma, basta calcular o X_V desta função, conforme segue:

$X_V=-frac{b}{2cdot a}Rightarrow X_V=-frac{4sqrt{3}}{2cdot (-frac{sqrt{3}}{2})}~ herefore~X_V=4\ \$

Ou seja, temos então que:

$a=X_V=4 Rightarrow b=4sqrt{3}-4cdotfrac{sqrt{3}}{2}=2sqrt{3}\ \ herefore~oxed{a=4;~b=2sqrt{3}}$

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