Questão 17

ESPCEX 2020

Matemática

(EsPCEx - 2020)

A figura abaixo mostra um reservatório com 6 metros de altura. Inicialmente esse reservatório está vazio e ficará cheio ao fim de 7 horas. Sabe-se também que, após 1 hora do começo do seu preenchimento, a altura da água é igual a 2 metros. Percebeu-se que a altura, em metros, da água, "t" horas após começar o seu preenchimento, é dada por $hleft ( t ight )= log_{2}left ( at^{2}+bt+c ight )$ , com $tin left [ 0,7 ight ]$ , onde a, b e c são constantes reais. Após quantas horas a altura da água no reservatório estará com 4 metros?

3 horas e 30 minutos.

3 horas.

2 horas e 30 minutos.

2 horas.

1 hora e 30 minutos.

Gabarito:

3 horas.

Resolução:

$h(t)=log_2(at^2+bt+c)$

Pela informação dada pelo enunciado: "Inicialmente esse reservatório está vazio e ficará cheio ao fim de 7 horas. Sabe-se também que, após 1 hora do começo do seu preenchimento, a altura da água é igual a 2 metros." podemos concluir que:

$t=0 ightarrow h(0)= 0$
$t=7 ightarrow h(7)= 6$
$t=1 ightarrow h(1)= 2$

Assim montamos o sistema:

$left{egin{matrix}0=log_2(c)\ 6=log_2(49a+7b+c)\ 2=log_2(a+b+c)\ end{matrix} ight.$

Resolvendo-o, obtemos:

$2^0=c$

1) $C=1$

$left{egin{matrix}64=49a+7b+1\4=a+b+1end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix}63=49a+7b\3=a+bend{matrix} ight.$

$-left{egin{matrix}9=7a+b\3=a+bend{matrix} ight. ightarrow6=6a$

2) a=1

$3=a+b$

$3=1+b$

3) b = 2

Então:

$h(t)=log_2(t^2+2t+1)$

$4=log_2(t^2+2t+1)$

$16=(t^2+2t+1)$

$t^2+2t-15=0$

Aplicando baskhara:

$4+60$

$Delta=64$

$frac{-2+8}{2}=3$ horas

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