Questão 1

ESPCEX 2020

Matemática

(EsPCEx - 2020)

Na figura a seguir, ABCD é um quadrado, E é o ponto médio de BC e F é o ponto médio de DE.

A razão entre as áreas do quadrado ABCD e do triângulo AEF, nessa ordem, é

Gabarito:

Resolução:

Seja x o lado do quadrado:

$overline{DE} ^{2} = x^{2} + (frac{x}{2})^{2}$

$overline{DE} = frac{xsqrt{5}}{2}$

Aplicando a lei dos cossenos do triângulo ADE:

$x^{2} = frac{5x^{2}}{4} + frac{5x^{2}}{4} - 2 cdot frac{xsqrt{5}}{2}cdot frac{xsqrt{5}}{2} cdot cos (Dhat{E}A)$

$1 = frac{5}{2} -frac{5}{2} cdot cos(Dhat{E}A)$

$cos(Dhat{E}A) = frac{3}{5}$

Pela relação fundamental da trigonometria:

$sen^{2}(Dhat{E}A) + (frac{3}{5})^{2} = 1$

$sen^{2}(Dhat{E}A)= 1 - frac{9}{25}$

$sen^{2}(Dhat{E}A)= frac{4}{5}$

Assim, a área do triângulo AFE é dada por:

$A_{AFE} = frac{1}{2} cdot frac{xsqrt{5}}{2} cdot frac{xsqrt{5}}{4} cdot frac{4}{5}$

$A_{AFE} = frac{x^{2}}{4}$

Fazendo a razão com a área do quadrado:

$R = frac{x^{2}}{frac{x^{2}}{4}} Rightarrow R = 4$

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