Questão 13

ESPCEX 2020

Matemática

(EsPCEx - 2020) Se a medida do raio da circunferência circunscrita a um octógono regular é R, então a medida do raio da circunferência inscrita a esse octogono é igual a

$frac{R}{2}sqrt{1+sqrt{2}}$ .

$frac{R}{2}sqrt{1+sqrt{3}}$ .

$frac{R}{2}sqrt{2+sqrt{2}}$ .

$frac{R}{2}sqrt{2+sqrt{3}}$ .

$frac{R}{2}sqrt{2-sqrt{3}}$ .

Gabarito:

$frac{R}{2}sqrt{2+sqrt{2}}$ .

Resolução:

Pela geomatria do problema exposta acima nós podemos aplicar o teorema dos cossenos para descobrir o valor do lado l do hexagono:

$l^2=R^2+R^2-2R^2cdotfrac{sqrt{2}}{2}$

$l^2=2R^2-{sqrt{2}}R^2$

$l^2={sqrt{R^2(2sqrt{2})}}$

$frac{l}{2}=frac{sqrt{R^2(2-sqrt{2})}}{2}$

Depois, sabendo o valor de l, podemos aplicar pitágoras para descobrir o valor do raio menor, r.

$R^2=frac{l^2}{4}+r^2$

$r^2=frac{4R^2-2R^2+R^2sqrt{2}}{4}$

$r^2=frac{2R^2+R^2sqrt{2}}{4}$

$r^2=frac{R^2}{4}(2+sqrt{2})$

$r=frac{R}{2}sqrt{2+sqrt{2}}$ .

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