Questão 3

ESPCEX 2020

Matemática

(EsPCEx - 2020 - Modelo F - Questão 3)

Na figura abaixo está representado o plano de Argang-Gauss com os afixos de 12 números complexos. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que Z₀ = 1.

Sobre o número complexo dado por $frac{left ( Z_{2} ight )^{2} cdot Z_{5}}{Z_{3}}$ é correto afirmar que é um número

real e negativo.

real e positivo.

Imaginário com parte real negativa e parte imaginária positiva.

Imaginário com parte real positiva e parte imaginária negativa.

Imaginário puro com parte imaginária negativa.

Gabarito:

real e negativo.

Resolução:

Como são 12 números nesse círculo, então temos que cada arco é 360º/12 = 30º de ângulo. Pela figura, Z₂ possui como argumento o ângulo 2.30º = 60º. Já, Z₅ possui como argumento 5.30º = 150º e Z₃ é 90º. Logo, podemos reescrever estes números complexos como:

$Z_2=frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i$

$Z_5=frac{-sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}i$

$Z_3=i$

Daí, é só aplicar na expressão do enunciado:

$frac{left(Z_2 ight )^2cdot Z_5}{Z_3}=frac{left(frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i ight )^2cdotleft(-frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}i ight )}{i}Rightarrow frac{left(frac{-1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i ight )cdotleft(-frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}i ight )}{i}=frac{-i}{i}=-1$

Este resultado é um número real e negativo.

A Letra A é a correta.

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