Questão 7

ESPCEX 2020

Matemática

(EsPCEx - 2020)

Uma reta tangente à curva de equação $y = x^2$ é paralela à reta $6x - y + 5 = 0$ . As coordenadas do ponto de tangência são

(3,9).

(6,5).

(5,6).

(5,9).

(9,3).

Gabarito:

(3,9).

Resolução:

Como a reta tangente é paralela à reta 6x - y + 5 = 0, podemos encontrar o coeficiente angular da reta tangente

$6x-y+5 = 0$

$y=6x+5$

Como 6 é o coeficiente angular de y = 6x + 5, temos que a reta tangente terá o formato y = 6x + b

Como y = x² e y = 6x + b são tangentes, temos que eles se encontram em apenas um ponto (x₀, y₀), Logo, igualando as equações

$x^{2} = 6x+b$

$x^{2} -6x -b = 0$

Como trata-se de apenas um ponto, Δ = 0

$b^{2}-4ac = 0$

$(-6)^{2}-4cdot 1cdot (-b) = 0$

$36+4b = 0$

$b = -9$

Com isso, encontramos a intersecção entre y = x² e y = 6x - 9

$x^{2} = 6x + 9$

$x^{2} - 6x - 9=0$

$x = 3$

$y = x^{2} = 3^{2} = 9$

Logo, o ponto de tangência é (3,9).

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