Questão 13

ESPCEX 2019

Matemática

(EsPCEx - 2019)

A partir de um cubo de aresta 1, inscreve-se uma esfera; nessa esfera inscreve-se um novo cubo e neste, uma nova esfera, Repetindo essa operação indefinidamente, a soma das área totais desses cubos é igual a

Gabarito:

Resolução:

Para o primeiro cubo, de aresta 1, nós temos a área:

$A_1=6a^2=6(1)^2=6$

O segundo cubo, que será um cubo inscrito dentro da esfera que está inscrita no primeiro cubo, terá diagonal D igual a $D=asqrt{3}=1$ , repare na imagem abaixo, que é uma secção ortogonal desses sólidos inscritos:

isso faz com que tenha aresta $a=frac{1}{sqrt{3}}$ , assim, o valor da área para o segundo cubo é

$A_2=6a^2=6(frac{1}{sqrt{3}})^2=2$

se repetirmos o processo vamos obter novas arestas com essas mesmas proporções, portanto novas áreas com essas mesmar proporções, dessa forma descobrimos que a soma das áreas desses cubos é uma soma de PG infinita de razão $frac{1}{3}$ , assim sua soma será:

$S=frac{a1}{1-frac{1}{3}}=frac{6}{frac{2}{3}}=9$

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