Questão 7

ESPCEX 2019

Matemática

(EsPCEx - 2019)

Um trapézio ABCD, retângulo em A e D, possui suas diagonais perpendiculares. Sabendo-se que os lados AB e CD medem, respectivamente, 2 cm e 18 cm, então a área, em cm², desse trapézio mede

120.

60.

180.

30.

240.

Gabarito:

60.

Resolução:

Temos a figura abaixo:

Sendo AD = h, AC = D e BD = d, temos a área do trapézio:

$A = frac{(2+18)h}{2} Rightarrow A = 10h$

Mas o triângulo ABD é retângulo:

$d^2 = h^2 +2^2$

O triângulo ACD também é retângulo:

$D^2 = h^2 + 18^2$

A área do trapézio também pode ser calculada por

$A = frac{D imes d}{2}$

$20h = Dd$

Elevando ao quadrado temos:

$D^2d^2 = 400h^2$

Substituindo d² e D² na equação acima temos:

$(h^2+4).(h^2 + 324) = 400h^2$

$\h^4 + 324h^2 + 4h^2 + 1296 = 400h^2 Rightarrow \\ h^4 - 72cdot h^2 + 1296 = 0 Rightarrow \\ h^2 = frac{72 pm sqrt{72^2 - 4*1296}}{2} Rightarrow \\ h^2 = 36 Rightarrow h = 6$

$A = 10h, ext{ logo, } A = 60 cm^2$

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