Questão 1

ESPCEX 2017

Física

(EsPCEx - 2017)

Quatro objetos esféricos A, B, C e D, sendo respectivamente suas massas mA, mB, mC e mD, tendo as seguintes relações mA > mB e mB = mC = mD, são lançados dentro de uma piscina contendo um líquido de densidade homogênea. Após algum tempo, os objetos ficam em equilíbrio estático. Os objetos A e D mantêm metade de seus volumes submersos e os objetos C e B ficam totalmente submersos conforme o desenho abaixo.

Sendo VA, VB, VC e VD os volumes dos objetos A, B, C e D, respectivamente, podemos afirmar que

V_A = V_D > V_C = V_B

V_A = V_D > V_C > V_B

V_A >V_D > V_B = V_C

V_A < V_D = V_B = V_C

V_A = V_D < V_C < V_B

Gabarito:

V_A >V_D > V_B = V_C

Resolução:

Vamos chamar de $sigma$ a densidade do líquido o qual cada corpo está submerso.

Analisando a imagem obtemos as seguintes relações:

$d_A = d_D < sigma$

$d_B simeq sigma$

$d_C simeq sigma$

Portanto, podemos comparar cada valor desse dois a dois.

Começaremos comparado A e D:

$large m_A > m_D$

Vamos dividir ambos os lados pela densidade de A que é igual a densidade de D, portanto estaremos dividindo os dois lados por um mesmo número, conservando a desigualdade:

$large frac{m_A}{d_A} > frac{m_D}{d_D}$

$large V_A > V_D$

Comparando C e D:

$large m_C = m_D$

$large sigma > d_D$

Vamos aplicar o inverso e inverter a desigualdade:

$large frac{1}{sigma} < frac{1}{d_D}$

Multiplicando ambos os lados pela massa de C, que é igual à massa de D e, portanto, estaremos multiplicando ambos os lados por um mesmo número, conservando a desigualdade:

$large frac{m_{C}}{sigma} < frac{m_{D}}{d_D}$

Como a densidade do líquido é aproximadamente igual à densidade de C, escrever-se-à:

$large V_{C}< V_{D}$

Por fim, vamos comparar B e C, utilizando as mesmas ideias anteriores:

$large m_B = m_C$

$large d_{B} = sigma$

$large frac{1}{d_{B}} = frac{1}{sigma}$

Multiplicando ambos os lados pela massa de B, que é igual à massa de C e, portanto, multiplicando ambos os lados por um mesmo número, conservando a desigualdade:

$large frac{m_{C}}{d_{B}} = frac{m_C}{sigma}$

$large V_{B} = V_{C}$

Concluímos, portanto, que:

$large V_A > V_D$

$large V_{C}< V_{D}$

$large V_{B} = V_{C}$

Juntando tudo em uma única relação:

$large V_A > V_D >V_C=V_B$

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