Questão 6

ESPCEX 2016

Matemática

(EsPCEx - 2016)

O número N de bactérias de uma cultura é dado em função do tempo t (em minutos), pela fórmula $N(t)=left ( 2,5 ight )^{1,2t}$ . Considere $log_{10}2 = 0,3$ , o tempo (em minutos) necessário para que a cultura tenha $10^{84}$ bactérias é

120

150

175

185

205

Gabarito:

175

Resolução:

A questão nos oferece:

$log_{10}2=0,3$

$N(t)=2,5^{1,2t}$

Para $N=10^{84}$ bactérias teremos:

$10^{84}=2,5^{1,2t}$

$10^{84}=(frac{10}{4})^{1,2t}$

$log_{frac{10}{4}}(10^{84})=1,2t$

Aplicando a propriedade $Log(a^b)=bLog(a)$ :

$84cdot log_{10/4}10=1,2t$

Aplicando a mudança de base $Log_b(a)=frac{Log_{10}(a)}{Log_{10}(b)}$ :

$84(frac{Log_{10}(10)}{Log_{10}(frac{10}{4})})=1,2t$

$log_{10}10=1$

Pela propriedade do logaritmo da divisão, temos:

$log_{10}(frac{10}{4})=log_{10}10-log_{10}4$

$log_{10}(frac{10}{4})=log_{10}10-log_{10}(2cdot2)$

Pela propriedade do log da multiplicação, temos:

$log_{10}(frac{10}{4})=log_{10}10-(log_{10}(2)+log_{10}(2))$

Substituindo o valor dado pelo enunciado $log_{10}2=0,3$ :

$log_{10}(frac{10}{4})=1-(0,3+0,3)=0,4$

Então:

$84cdot(frac{1}{0,4})=1,2t$

$t=frac{(frac{84}{0,4})}{1,2}$

$t=(frac{84}{0,4cdot1,2})=175$

$t=175$ minutos

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