Questão 11

ESPCEX 2016

Matemática

(EsPCEx - 2016)

Considere o sistema linear homogêneo $egin{cases} & x-3y+kz=0\ & 3x+ky+z=0 \ & kx+y=0 end{cases}$ onde k é o único valor que torna o sistema acima possível e indeterminado, o qual pertence ao intervalo

(-4, -2]

(-2, 1]

(1, 2]

(2, 4]

(4, 6]

Gabarito:

(-2, 1]

Resolução:

Se esse sistema linear homogêneo possui um número de soluções indeterminadas, temos que o determinante da matriz construída pelos coeficientes desse sistema deve ser igual a 0.

$detegin{pmatrix} 1 & -3 & k \ 3& k & 1\ k &1 & 0 end{pmatrix} = 0$

$egin{bmatrix} 1 & -3 & k\ 3& k & 1\ k &1 & 0 end{bmatrix}left.egin{matrix} 1 & -3 \ 3& k\ k& 1 end{matrix} ight| = 0$

$-3k +3k -k^{3} - 1 = 0$

$-k^{3} = 1$

$k = sqrt[3]{-1}$

$k = - 1$

-1 se encontra dentro do intervalo (-2, 1].

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