Questão 13

ESPCEX 2016

Matemática

(EsPCEx - 2016)

Sejam z e v números complexos onde |z| = 1 e v tem coordenadas no plano de Argand-Gauss $egin{pmatrix}frac{sqrt{2}}{2}, frac{sqrt{2}}{2}end{pmatrix}$ . Sobre o número complexo zv (resultante da multiplicação dos complexos z e v), podemos afirmar que :

sempre é um número real.

sempre tem módulo igual a 2.

sempre é um número imaginário puro

pertence à circunferência x² + y² = 1

sempre tem argumento igual a $frac{pi}{4}$ .

Gabarito:

pertence à circunferência x² + y² = 1

Resolução:

Sabemos que o módulo de z vale 1 e que v é o número complexo $frac{sqrt{2}}{2} + frac{sqrt{2}}{2}i$ .

v, em sua forma trigonométrica pode ser escrito como $v=1cdot;cis(frac{pi}{4})$

como z tem módulo 1 e está sobre o plano de Argand-Gauss, então ele pode ser escrito na forma $z=1cdot;cis( heta)$ (um ponto qualquer que tem distancia 1 da origem)

Logo, a multiplicação de z por v é:

$zv=1cdot;cis( heta+frac{pi}{4})$

que é um ponto que tem distância igual a 1 da origem, ou seja, algum ponto sobre a circunferência $x^{2} + y^{2} = 1$

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