Questão 1

ESPCEX 2016

Matemática

(EsPCEx - 2016)

Seja C a circunferência de equação . Considere em C a corda MN cujo ponto médio é P(-1,-1). O comprimento de MN (em unidade de comprimento) é igual a

Gabarito: 2sqrt{2}

Resolução:

Primeiramente, vamos colocar essa equação da circunferência em uma forma que dê saber o raio e o ponto C do centro.

Completando os quadrados, temos que:

$x^{2}+2x + y^{2}+4y + 2 =0$

$x^{2}+2x + 1 + y^{2}+4y+ 4 = -2 + 1 + 4$

$left(x+1 ight )^{2} + left(y+2 ight )^{2} = 3$

Logo, C = (-1,-2) e o raio R = $sqrt{3}$ .

A reta MN vale duas vezes o segmento PN. Sabemos que PN é um dos catetos do triângulo retângulo formado a seguir:

Temos que:

$left(PN ight )^{2}+ left(PC ight )^{2} = left(CN ight )^{2}$

CN é o raio da circunferência e PC é dado pelo módulo do vetor formado pelos pontos P e C.

$PC = sqrt{left(-1+1 ight )^{2}+left(-2+1 ight )^{2}}$

$PC = 1$

Logo:

$left(PN ight )^{2} = left(CN ight )^{2} - left(PC ight )^{2}$

$left(PN ight )^{2} = 3 - 1$

$PN = sqrt{2}$

$MN = 2sqrt{2}$

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