Questão 7

Matemática

(EsPCEx - 2015)

Considere o polinômio $p(x)=x^6-2x^5+2x^4-4x^3+x^2-2x$ . Sobre as raízes de $p(x) = 0$ , podemos afirmar que

quatro raízes são reais distintas.

quatro raízes são reais, sendo duas iguais.

apenas uma raiz é real.

apenas duas raízes são reais e iguais.

apenas duas raízes são reais distintas.

Gabarito:

apenas duas raízes são reais distintas.

Resolução:

$p(x)=x^6-2x^5+2x^4-4x^3+x^2-2x$

1) Fatorando:

$p(x)=x cdot (x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2)$

2) $mathrm{Utilizar:o:teorema:das:raizes:racionais}:$

$a_0=2,:quad a_n=1$

$mathrm{Os:divisores:de:}a_0:quad 1,:2,:quad mathrm{Os:divisores:de:}a_n:quad 1$

$mathrm{Portanto,:verificar:os:seguintes:nacute{u}meros:racionais:quad }pm frac{1,:2}{1}$

$frac{2}{1}mathrm{:acute{e}:a:raiz:da:express ilde{a}o,:portanto,:fatorar:}x-2$

$p(x)=x cdotleft(x-2 ight) cdot frac{x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2}{x-2}$

$p(x)=x cdotleft(x-2 ight) cdot (x^4+2x^2+1)$

3) $mathrm{Fatorar}:x^4+2x^2+1:$

3.1) $mathrm{Considere}:u=x^2$

$u^2+2u+1$

$left(u+1 ight)left(u+1 ight)$

$left(x^2+1 ight)left(x^2+1 ight)$

3.2) Logo,

$p(x)=x cdot left(x-2 ight)left(x^2+1 ight)^2$

4) Logo, podemos afirmar que apenas duas raízes são reais distintas.

Dica:

Teorema das raízes racionais: