Questão 20

ESPCEX 2015

Matemática

(EsPCEx - 2015)

Considere o seguinte procedimento: em uma circunferência de diâmetro 2R, inscreve-se um hexágono regular para, em seguida, inscrever neste polígono uma segunda circunferência. Tomando esta nova circunferência, o processo é repetido gerando uma terceira circunferência. Caso este procedimento seja repetido infinitas vezes, a soma dos raios de todas as circunferências envolvidas nesse processo é igual a:

$2R(1+frac{sqrt3}{2})$

$4R(1+frac{sqrt3}{2})$

$4R(1+frac{sqrt3}{4})$

$R(2+sqrt3)$

$2R(1+frac{sqrt3}{4})$

Gabarito:

$4R(1+frac{sqrt3}{2})$

Resolução:

O raio da circunferência menor sempre vai ser dado pela altura do hexágono em que está inscrita. E essa altura é dada pela multiplicação do raio da circunferência maior por $frac{sqrt{3}}{2}$ .