Questão 6

ESPCEX 2015

Matemática

(EsPCEx - 2015)

Se $left(i+1 ight)left(cosfrac{pi}{12}+isenfrac{pi}{12} ight )=x+iy$ , em que i é a unidade imaginária e x e y são números reais, o valor de $sqrt{3}x+y$ é:

A

$sqrt{6}$

B

$sqrt{3}$

C

$frac{sqrt{2}}{2}$

D

$3sqrt{6}$

E

$frac{sqrt{3}}{2}$

Gabarito:

$sqrt{6}$

Resolução:

Veja que o primeiro número complexo está na forma algébrica e o segundo na forma trigonométrica. Vamos passar o primeiro para a forma trigonométrica também, posi sabemos que o produto dos dois vai ser o produto de seus respectivos módulos multiplicado pela soma de seus argumentos.

$left(1 +i ight ) left(cosfrac{pi}{12} + isen frac{pi}{12} ight )$

Em $left(1+i ight )$ temos que x = y = 1. Dessa fórma, o módulo é dado por:

$ho = sqrt{1^{2}+ 1^{2}} = sqrt{2}$

E como os valores de x e y são os mesmos, sabemos que a ângulo formado pelo vetor(x,y) vale $frac{pi}{4}$

Então, temos:

$sqrt{2}left(cosfrac{pi}{4} + isen frac{pi}{4} ight ).1left(cosfrac{pi}{12} + isen frac{pi}{12} ight )$

$sqrt{2}left(cosfrac{pi}{3} + isen frac{pi}{3} ight )$

Agora voltando esse resultado para a forma algébrica:

$sqrt{2}left(frac{1}{2} + ifrac{sqrt{3}}{2} ight )$

$frac{sqrt{2}}{2} + ifrac{sqrt{6}}{2}$

O enunciado pede $sqrt{3}.x +y$

$sqrt{3}left(frac{sqrt{2}}{2} ight ) + frac{sqrt{6}}{2}$

$frac{sqrt{6}}{2} + frac{sqrt{6}}{2} = sqrt{6}$

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