Questão 19

ESPCEX 2015

Matemática

(EsPCEx - 2015)

Na figura abaixo, a circunferência de raio 3 cm tangencia três lados do retângulo ABCD. Sabendo que a área deste retângulo é igual a 72 cm² a medida do segmento EF, em cm, é igual a:

Gabarito:

Resolução:

Vamos chamar de x a base do retângulo.

Se a área A vale 72:

$72 = x.6$

$x = 12$

Com isso temos que BD vale:

$12^{2}+6^{2} = BD^{2}$

$BD = sqrt{180} = 6sqrt{5}$

Agora considere o triângulo DPF:

Ele é semelhante ao triângulo DBC.

Vamos chamar o segmento FD de y.

$frac{12}{6sqrt{5}} = frac{6}{y}$

$y = 3sqrt{5}$

Seguindo, considere o triângulo DPE.

Ele é semelhante ao triângulo DPF.

Chamando ED de z:

$frac{3sqrt{5}}{3} = frac{3}{z}$

$z = frac{3sqrt{5}}{5}$

Com tudo isso temos que:

EF = FD - ED

$EF = 3sqrt{5} - frac{3sqrt{5}}{5}$

$EF = frac{12sqrt{5}}{5}$

Questão 19

ESPCEX 2015

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