Questão 11

ESPCEX 2015

Matemática

(EsPCEx - 2015)

Considere a circunferência que passa pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (4, 0) em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos (0, 6) e (4, 0) pertencem a uma reta que passa pelo centro dessa circunferência, uma das retas tangentes a essa circunferência, que passa pelo ponto (3, -2), tem por equação

A

3x - 2y - 13 = 0

B

2x - 3y - 12 = 0

C

2x - y - 8 = 0

D

x - 5y - 13 = 0

E

8x + 3y - 18 = 0

Gabarito:

3x - 2y - 13 = 0

Resolução:

Como a distância entre os pontos (0,6) e (4,0) é o diâmetro da circunferência, isso porque a reta passa pelo centro da circunferência, temos:

$C (frac{0+4}{2}; frac{6+0}{2}) Rightarrow C(2;3)$

Calculando o raio da circunferência pela distância entre dois pontos de C (2,3) e (4,0), temos:

$R = sqrt{(2-4)^{2} + (3-0)^{2}}$

$R = sqrt{(4+9)} Rightarrow R=sqrt{13}$

A equação da reta de (3, -2)

$y-y_{0} = m(x-x_{0})$

$y+2 = m(x-3)$

$r: mx-y +(-3m-2) = 0$

A distância entre a reta e o centro deve ser igual ao raio, assim temos:

$d = |2m -3-3m-2| + |2m-3-3m-2| = sqrt{13}$

Calculando o coeficiente angular, temos:

Calculando o coeficiente angular, temos:

$frac{|2m-3-3m-2|}{sqrt{m^{2} +1}} = sqrt{13}$

$m_{1} = frac{3}{2}$ ou $m_{2} = -frac{2}{3}$

Substituindo m na equação da reta:

$-m _{1} = frac{3}{2} Rightarrow y+2 = frac{3}{2} (x-3)$

$3x - 2y -13 = 0$

$-m_{2} = -frac{2}{3}$

$y+2 = -(frac{2}{3})(x-3)$ - Não há alternativa!

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