Questão 15

ESPCEX 2013

Matemática

(EsPCEx - 2013) Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é . Aumentando-se a aresta da base em 2 cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 108 cm³ . O volume do prisma original é

18 cm³

36 cm³

cm³

40 cm³

Gabarito:

36 cm³

Resolução:

Sejam h a altura do prisma, $a_l$ a aresta lateral, $a_b$ a aresta da base, $V_0$ o volume inicial do prisma, $v$ o volume final e $A_b$ a área da base. Como o prisma é reto, então $a_l=h$ . Assim, segue que:

$(i);;frac{a_b}{a_l}=frac{sqrt{3}}{3};;Rightarrow;;a_l=frac{3}{sqrt{3}}cdot a_b;;Rightarrow;;a_l=sqrt{3}cdot a_b$

$V_0=A_bcdot h;;Rightarrow;;V_0=frac{6cdot a_b^2sqrt{3}}{4}cdot a_l;;Rightarrow;;V_0=frac{3cdot a_b^2cdotsqrt{3}}{2}cdot sqrt{3}cdot a_b$

$herefore;;V_0=frac{9cdot a_b^3}{2}$

$(ii);;a_b=a_b+2$

$V=A_bcdot h;;Rightarrow;;V=frac{6cdot a_b^2sqrt{3}}{4}cdot a_l;;Rightarrow;;V=frac{3cdot (a_b+2)^2cdotsqrt{3}}{2}cdot a_l$

$herefore;;V=frac{9cdot (a_b+2)^2cdot}{2}cdot a_b$

$(iii);;V=V_0+108Rightarrowfrac{9cdot (a_b+2)^2cdot}{2}cdot a_b=frac{9cdot a_b^3}{2}+108Rightarrow(a_b+2)^2cdot a_b=a_b^3+24$

$Rightarrow;;a_b^3+4a_b^2+4a_b=a_b^3+24;;Rightarrow;;a_b^2+a_b-6=0$

$Rightarrow;;a_b=-3 ext{ ou } a_b=2$

$herefore;;a_b=2$

$herefore;;oxed{V_0=frac{9cdot a_b^3}{2}=frac{9cdot8}{2}=36;cm^3}$

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