Questão 4

Gabarito:

Resolução:

Na equação x³ - 8 = 0, x pode assumir 2 como valor real. Então já possuímos um dos três valores possíveis para x. Há dois outros valores complexos que precisamos descobrir!

Sabendo que podemos representar um número complexo na seguinte forma: , sendo  o módulo de x e  o argumento de x.

Elevemos x ao cubo:

Repare que para  igual a 0º, nós temos que x =  que é o único valor real como raiz da equação do enunciado. Logo, podemos afirmar que . Daí, temos:

Então, como são três raízes, temos:

Primeira raiz, k = 0: x = 2.

Segunda raiz, k = 1:

Terceira raiz, k = 2:

Daí, temos a figura:

É fácil ver, por simetria, que este triângulo ABC, das soluções da equação do enunciado no plano complexo, é um triângulo equilátero. Então só precisamos saber qual o comprimento de um dos lados, pois daí já podemos calcular a área de ABC pela fórmula .

Repare no triângulo AOB, sendo O o ponto de origem do plano complexo. Podemos fazer lei dos cossenos e obtermos:

Então, a área pedida é:

.

A alternativa correta é, portanto, a Letra E.