Questão 14

ESPCEX 2006

Matemática

(EsPCEx - 2006)

Temos as funções:

n(x) = x + 1

g(x) = x³ + ax² + bx + c

h(x) = g(f(x)).

Considerando que as raízes de h(x) são { -1; 0; 1}, determine h(—2).

-3

-6

Gabarito:

-6

Resolução:

Desenvolvendo o que foi dado:

$h(x) = g(f(x))$

$h(x) = g(x+1)$

$h(x) = (x+1)^3 + a(x+1)^2 + b(x+1) + c$

Sabemos que $h(-1) = h(0) = h(1) = 0$ . Logo:

$h(-1) = (-1+1)^3 + a(-1+1)^2 + b(-1+1) + c$

$h(-1) = c=0$

Também:

$h(0) = 1^3 + a + b = 0$

(I): $a+b=-1$

$h(1) = 2^3 + acdot2^2 + 2b$

$h(1) = 4a+2b+8=0$

$2a+b+4=0$

(II): $2a+b=-4$

Substituindo (I) em (II):

$-1+a=-4$

$a=-3$

Logo:

$h(x) = (x+1)^3 - 3(x+1)^2 + 2(x+1)$

$h(x) = (-2+1)^3 - 3(-2+1)^2 + 2(-2+1)$

$h(x) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1)$

$h(x) = -1- 3 -2$

$h(x) = -6$

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