Questão 6824

ESCOLA NAVAL 2014

Matemática

(ESCOLA NAVAL - 2014) Considere as seguintes matrizes

$R = egin{bmatrix} 4 & (16)^y & -1 \ 9^x & a & 0 end{bmatrix}$ ; $S = egin{bmatrix} 1 & (4)^{(2y-1)} & 2^{-1} \ 3^x & b & 1 end{bmatrix}$ e $T = egin{bmatrix} b & (2)^{(2y-1)}-10 & c \ 27 & 13 & -6 end{bmatrix}$

A soma dos quadrados das constantes reais x, y, a, b, c que satisfazem à equação matricial é

A

23

B

26

C

29

D

32

E

40

Gabarito:

26

Resolução:

Temos então que:

$egin{pmatrix}:4:&:left(16 ight)^y:&:-1:\ ::::9^x:&:a:&:0:end{pmatrix}-6egin{pmatrix}:1:&:left(4 ight)^{left(2y-1 ight)}:&:2^{-1}:\ ::::3^x:&:b:&:1:end{pmatrix}=egin{pmatrix}:b:&:left(2 ight)^{left(2y-1 ight)}-10:&:c:\ ::::27:&:13:&:-6:end{pmatrix}$

$egin{pmatrix}:4:&:left(16 ight)^y:&:-1:\ ::::9^x:&:a:&:0:end{pmatrix}+egin{pmatrix}:-6:&:-6*left(4 ight)^{left(2y-1 ight)}:&:-6*2^{-1}:\ ::::-6*3^x:&:-6b:&:-6:end{pmatrix}=egin{pmatrix}:b:&:left(2 ight)^{left(2y-1 ight)}-10:&:c:\ ::::27:&:13:&:-6:end{pmatrix}$

Com isso temos o sistema de equações:

$left{egin{matrix} 4-6=b \ 16^y-6*(4)^{2y-1}=2^{2y-1}-10 \ -1 -6*2^{-1}=c \ 9^x-6*3^x=27 \ a-6b=13 \ 0-6=-6 end{matrix} ight.$

Resolvendo temos que:

$left{egin{matrix} b=-2 \ 16^y-6*(4)^{2y-1}=2^{2y-1}-10 \ c = -4 \ 9^x-6*3^x=27 \ a=13+6b=13-12=1end{matrix} ight.$

a = 1, b = -2, c = -4.

Falta descobrir os valores de x e de y.

$left{egin{matrix}16^y-6*(4)^{2y-1}=2^{2y-1}-10 \ 9^x-6*3^x=27 end{matrix} ight.$

Organizando:

Para o y:

$left(4^2 ight)^y-6cdot :4^{2y-1}=2^{2y-1}-10$

$\ 4^{2y}-6cdot :4^{2y-1}=2^{2y-1}-10$

$left(2^2 ight)^{2y}-6left(2^2 ight)^{2y-1}=2^{2y-1}-10$

$2^{2cdot :2y}-6cdot :2^{2left(2y-1 ight)}=2^{2y-1}-10$

$2^{2cdot :2y}-6cdot :2^{4y}cdot :2^{-2}=2^{2y}cdot :2^{-1}-10$

$left(2^y ight)^4-6left(2^y ight)^4cdot :2^{-2}=left(2^y ight)^2cdot :2^{-1}-10$

$Considerando 2^y=u$

$left(u ight)^4-6left(u ight)^4cdot :2^{-2}=left(u ight)^2cdot :2^{-1}-10$

Resolvendo, encontramos que

$u=2,:u=-2$

Sendo que $u=2^y$

Encontramos que y=1

Para o x:

$left(3^2 ight)^x-6cdot :3^x=27$

$3^{2x}-6cdot :3^x=27$

$left(3^x ight)^2-6cdot :3^x=27$

$Considerando que 3^x=u$

$left(u ight)^2-6u=27$

Resolvendo, encontramos que

$u=9,:u=-3$

Sendo que $u=3^x$

Encontramos que x = 2.

Com isso, a = 1, b = -2, c = -4, y = 1 e x = 2.

A soma dos quadrados destas constantes reais é

$1^2 + (-2)^2 + (-4)^2 + 1^2 + 2^2 = 26$

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