Questão 7634

ESCOLA NAVAL 2013

Matemática

(ESCOLA NAVAL - 2013) Os números complexos z e w são representados no plano xy pelos pontos A e B, respectivamente. Se z= 2w + 5wi e w ≠ 0, então o cosseno do ângulo AOB, onde O é a origem, é igual a

Gabarito:

Resolução:

Sejam z e w representados como vetores no plano Argand-Gauss com coordenadas (a; b) e (c; d) respectivamente.

O cosseno do ângulo AOB entre esses vetores é dado por:

cos(AOB) = (a; b) $cdot$ (c; d)/|(a; b)|*|(c; d)|

Assim, temos que:

$cos(AOB) = frac{ac + bd}{sqrt{a^{2}+b^{2}} cdot sqrt{c^{2}+d^{2}}}$

Vemos que z = w*(2 + 5i), assim

a + bi = (c + di)(2 + 5i), assim

a + bi = (2c - 5d) + (2d + 5c)i

Igualando as partes real e imaginária, temos:

a = 2c - 5d (I)

b = 2d + 5c (II)

Multiplicando (I) por c e (II) por d, temos:

ac = 2c² - 5dc (III)

bd = 2d² + 5cd (IV)

Somando (III) e (IV), temos:

ac + bd = 2(c² + d²) (V)

Se elevarmos (I) e (II) ao quadrado e somarmos, teremos:

a² + b² = 29*(c² + d²) (VI)

Assim, substituímos (V) e (VI) na expressão do cos(AOB):

$cos(AOB) = frac{ac + bd}{sqrt{a^{2}+b^{2}} cdot sqrt{c^{2}+d^{2}}} = frac{2(c^{2}+d^{2})}{sqrt{29(c^{2}+d^{2})}cdot sqrt{c^{2}+d^{2}}} = frac{2}{sqrt{29}} = frac{2 sqrt{29}}{29}$