Qual valor de n, n inteiro maior que zero, para que (1 + i)n seja um número real?
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Gabarito:
4
Seja z = 1 + i
Coloquemos na forma trigonométrica:
z = |z| * cis(x)
> |z| = √2
> cosx = 1/√2 (então x = π/4)
> senx = 1/√2 (então x = π/4)
Assim, temos que
z = √2 * cis(π/4)
Elevando z a n-ésima potência, temos:
zn = (√2)n * cis(n.π/4)
zn será um número real quando a sua parte imaginária for nula. Isso ocorre quando o argumento de z, arg(z) = n.π/4, é igual a k.π, com k um número inteiro.
Assim, vemos que
n.π/4 = k.π, então
n/4 = k, então
n = 4.k
Como n é maior que 0, temos que k não pode ser 0. Assim, o menor n é dado quando k = 1.
n = 4