Questão 60

AFA 2023

Matemática

(AFA - 2023)

O gráfico abaixo representa a função real $f(x)= a + b cdot e^{-x}$ , em que $a$ e $b epsilon mathbb{R}$ , e é o número de Eüler e a reta tracejada é a assíntota ao gráfico de f.

Considere que f é invertível e que ℓ𝑛 corresponde ao logaritmo na base e.

A função inversa de f, denotada por $f^{-1}$ , é

$f^{-1}(x)= -ln (2x+4)$

$f^{-1}(x)= ln (x+4)^{-1}$

$f^{-1}(x)= -ln (-2x+4)$

$f^{-1}(x)= ln (-x+4)^{-1}$

Gabarito:

$f^{-1}(x)= -ln (2x+4)$

Resolução:

Para resolver essa questão, devemos inicialmente analisar cada um dos pontos dados, onde a função passa pelos eixos.

Quando ela passa pelo eixo $x$ , temos que $x = ln(frac{1}{4})$ e $y = 0$ , substituindo em $f$ , temos:

$f(ln(frac{1}{4})) = a +bcdot e^{-ln(frac{1}{4})} = 0$ , como $a^{-ln_a b} = b^{-1}$

$a +bcdot 4 = 0$ , $(eq. 1)$

Quando ela passa pelo eixo $y$ , temos que $x =0$ e $y = -1,5$ , substituindo em $f$ , temos:

$f(0) = a +bcdot e^{0} = -1,5$

$a + b = -1,5$ , $(eq. 2)$

Substituindo a $(eq. 1)$ na $(eq. 2)$ , teremos:

$-4b + b = -1,5 ightarrow 3b = 1,5 ightarrow b = 0,5$

Substituindo esse valor na $(eq.1)$ , temos que:

$a = -2$

Com isso encontramos que $f(x) = -2 + frac{e^{-x}}{2}$ .

Para encontrar a função inversa, basta chamar $f(x)$ de $y$ e encontrar uma expressão para $x$ em função de $y$ .

$y = -2 + frac{e^{-x}}{2}$

$2y = -4 + e^{-x}$

$e^{-x} = 4 + 2y$

$-x = ln (4 + 2y) ightarrow x = -ln(2y+4)$

$f^{-1}(x)= -ln (2x+4)$

Portanto, a alternativa correta é a LETRA A.

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