Questão 49

AFA 2023

Matemática

(AFA - 2023)

Seja uma circunferência de centro C, cujo diâmetro é o segmento de extremidades A (−1,10) e B (−7,2) Considere que M e N são os pontos de interseção dessa circunferência com o eixo das ordenadas.

A área do triângulo cujos vértices são os pontos MNC, em unidade de área, é igual a

Gabarito:

Resolução:

Para encontrarmos os pontos de interseção com o eixo das ordenadas com a circunferência precisamos apenas da expressão que defini a circunferência, que pode ser obtida conhecendo as coordenadas do seu centro e seu raio.

Para descobrirmos as coordenadas de seu centro utilizamos o fato de que o centro é ponto médio de todo diametro, com isso podemos afirmar que:

$C = frac{A+ B}{2} = frac{(-1-7,10+2)}{2} = (-4,6)$

Agora para descobrir o valor de seu raio $r$ basta calcular a distância de $C$ para $A$ ou $B$ .

$r = d(A,C) = sqrt{(x_A - x_c)^2 + (y_a-y_c)^2}$

$r =sqrt{(-1+4)^2 + (10-6)^2} = sqrt{3^2+4^2}$

$r =5$

Utilizando esses valores na equação geral para a circunferência, $(x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 = r^2$ , temos que a circunferência da questão é definida por:

$(x+4)^2 + (y-6)^2 = 5^2$

Como nos interessa apenas os pontos $M$ e $N$ , sendo $M$ o de menor ordenada, utilizaremos $x = 0$ .

$4^2 + (y-6)^2 = 25 ightarrow (y-6)^2=9$

$y=6pm 3$

Notamos que, por $overline{MN}$ pertencer ao eixo das coordenadas, a área $[MNC]$ pode ser dada por:

$[MNC]=frac{|overline{MN}*x_C|}{2}$

$[MNC]=frac{|[6+3-(6-3)]*(-4))|}{2}$

$[MNC]=frac{|6*(-4)|}{2}$

$[MNC]=frac{24}{2} = 12$

Portanto, a alternativa correta é a LETRA B.

Questões relacionadas

Questão 50

(AFA - 2023) Seja a sequência uma progressão geométrica (P.G.) crescente, com , de n termos e razão q. A expressão corresponde, necessariamente,...

Ver questão

Questão 51

(AFA - 2023) Uma brincadeira consiste em jogar um dado entre dois cubos fixos. Em uma das jogadas, o dado parou na posição observada na figura abaixo. A área t...

Ver questão

Questão 52

(AFA - 2023) As raízes da equação são o primeiro e segundo termos de uma progressão geométrica (P.G.) decrescente. O termo geral dessa P.G. &e...

Ver questão

Questão 53

(AFA - 2023) Considere z os números complexos da forma , com e i a unidade imaginária, que possuem módulo igual a e encontram-se sobre a reta de equa&cce...

Ver questão