Questão 53

AFA 2023

Matemática

(AFA - 2023)

Considere z os números complexos da forma $x+yi$ , com $x,y epsilon mathbb{R}$ e i a unidade imaginária, que possuem módulo igual a $2 sqrt{5}$ e encontram-se sobre a reta de equação $2x-y=0$ .

O quociente do número z de menor argumento principal pelo número z de maior argumento principal, nessa ordem, vale

$- frac{1}{2}$

$-1$

$frac{1}{2}$

$1$

Gabarito:

$-1$

Resolução:

O módulo do número imaginário $z$ é igual a $sqrt{x^2+y^2}$ , com isso temos que:

$sqrt{x^2+y^2} = 2sqrt{5}$

$x^2+y^2 = 20$ , o que defini uma circunferência de raio $2sqrt{5}$ .

Realizando a interseção dessa circunferência com a reta $2x - y =0$ , subtituindo o valor de $y$ , temos:

$x^2 + (2x)^2 = 20$

$5x^2= 20$

$x^2 = 4$

$x = pm 2$

Substituindo esses valores na equação da reta, obtemos os pares $(2,4)$ e $(-2,-4)$ .

Para descobrir o complexo de menor argumento, analisamos os valores de $frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}$ e $frac{y}{sqrt{x^2+y^2}}$ , que representa os valores de seno e cosseno do argumento, respectivamente.

Com isso temos que $z_2$ terá maior argumento, pois está no intervalo $left [-pi,-frac{3pi}{2} ight ]$ , enquanto $z_1$ tem no intervalo $left [0,frac{pi}{2} ight ]$ .

Com a razão pedida é:

$frac{2+4i}{-2-4i} = -1$

Alternativa correta é Letra B.

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