Questão 58

AFA 2022

Matemática

(AFA - 2022 - Modelo A - Questão 58)

Um cone equilátero tem, em seu interior, duas esferas tangentes entre si e tangentes ao cone, conforme a figura a seguir.

A distância do vértice do cone ao ponto de tangência entre o cone e a esfera de menor raio é igual a $pi sqrt{3}$ cm.

O volume desse cone, em cm³, é igual a

$81pi^{4}$

$81pi^{3}$

$243pi^{4}$

$243pi^{3}$

Gabarito:

$81pi^{4}$

Resolução:

Planificando a figura:

$tg30^{o}=frac{r}{pisqrt{3}}$

$frac{sqrt{3}}{3}=frac{r}{pisqrt3}$

$r=frac{3pi}{3}$

$r=pi$

$cos30^{o}=frac{pisqrt{3}}{d}$

$frac{sqrt{3}}{2}=frac{pisqrt{3}}{d}$

$d=2pi$

$A_{Delta}= ho.R$

$A_{Delta}=frac{(3l)}{2}.R$

$A_{Delta}=frac{l^{2}sqrt{3}}{4}$

$frac{l^{2}sqrt{3}}{4}=frac{3lR}{2}$

$R=frac{lsqrt{3}}{6}$

A altura de um triângulo equilátero é $frac{lsqrt{3}}{2}$

$H=d+r+2R$

$frac{lsqrt{3}}{2}=2pi+pi+2.frac{lsqrt{3}}{6}$

$frac{lsqrt{3}}{2}=3pi+frac{lsqrt{3}}{3}$

$frac{3lsqrt{3}-2lsqrt{3}}{6}=3pi$

$frac{lsqrt{3}}{6}=3pi$

$lsqrt{3}=18pi$

$l=frac{18pisqrt{3}}{3}$

$l=6pisqrt{3}$ cm

$Vc=frac{1}{3}.pi.(frac{l}{2})^{2}.H$

$Vc=frac{1}{3}.pi.(frac{6pisqrt{3}}{2})^{2}.(6pisqrt{3}.frac{sqrt{3}}{2})$

$Vc=frac{1}{3}.pi.27pi^{2}.9pi$

$Vc=81pi^{4}$

Logo, alternativa A.

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