Questão 30

AFA 2020

Matemática

(AFA - 2020)

Um sistema de irrigação para plantas é composto por uma caixa d'água, em formato de cone circular reto, interligada a 30 esferas, idênticas.

O conteúdo da caixa d'água chega até as esferas por encanamentos cuja capacidade de armazenamento é desprezível.

O desenho a seguir ilustra a ligação entre a caixa d'água e uma das 30 esferas, cujo raio interno mede $r = pi ^{-frac{1}{3}} dm$ .

Se a caixa d'água está cheia e as esferas, bem como os encanamentos, estão vazios, então, no momento em que todas as 30 esferas ficarem cheias, restará, no cone, apenas a metade de sua capacidade total.

Assim, a área lateral de um cone equilátero cujo raio da base é congruente ao da caixa d'água, em dm², é igual a

Gabarito:

Resolução:

Cada esfera possui raio $r_{esfera} = pi ^{-frac{1}{3}}$ dm. Como são 30 esferas e o estas preenchem metade do volume da caixa d'água, então:

$V_{caixa}=2cdot30cdotpi^{-frac{1}{3}}=60pi^{-frac{1}{3}}$ .

Como a caixa d'água é um cone de altura $h_{cone}=6$ dm e raio da base $r_{cone}$ e a expressão matemática para o volume do cone é
$V_{caixa}=frac{1}{3}cdotpi r_{cone}^2cdot h_{cone}=frac{1}{3}cdot6cdot pi r_{cone}^2$ .

Igualando as duas expressões acima:

$V_{caixa}=frac{1}{3}cdot6cdot pi r_{cone}^2=60pi^{-frac{1}{3}}Rightarrow r_{cone}=sqrt{frac{40}{pi}}$ dm.

O novo cone equilátero com raio da base igual a $r_{cone}$ e a geratriz é $g=2r_{cone}$ já que o cone é equilátero, então:

$A_{lateral}=pi r_{cone}g=picdotsqrt{frac{40}{pi}}cdot2cdotsqrt{frac{40}{pi}}=picdot2cdot frac{40}{pi}=80,,dm^2$ .

A resposta correta é Letra A.

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