Questão 21

Gabarito:

três são números primos

Resolução:

Analisando a equação da circunferência, é notável que é possível simplificá-la:

Sabemos que a forma geral da equação da circunferência segue o modelo:

O centro da circunferência pode ser encontrado por meio da relação:

Então podemos encontrar o centro da nossa circunferência:

Agora vamos analisar a reta:

Tomando x=0 e x=1 para que possamos traçar a reta, temos:

Como a questão quer saber quanto ao ponto da reta que é mais próximo da origem, esse ponto será o que forma uma reta perpendicular com a origem, e para encontrar a equação de uma reta perpendicular com a outra, basta invertermos o termo a com o termo b e invertermos o sinal:

A reta s, perpendicular a r, será: 

Para descobrirmos c, podemos analisar um ponto que pertença a reta s e encontrá-lo, e nesse caso vai ser a origem (0,0), e então encontramos que c é 0. Agora precisamos encontrar o ponto de intersecção entre a reta s e a reta r, o que pode ser obtido por meio de um sistema de equações das duas retas:

Resolvendo, encontramos que x=1 e y=3. Sendo assim esse é o ponto da reta r que é o mais próximo da origem.

Esse ponto deve ser exterior à circunferência, então agora temos que analisar a equação da circunferência e o valor de k.

Para um ponto ser exterior a circunferência, é necessário que sua equação seja maior que 0, sendo assim:

Substituindo o valor do ponto:

.

Agora vamos analisar a condição de existência da circunferência. 

O raio deve ser maior que 0:

Ou seja, k está entre 16 e 24, então pode ser 17,18,19,20,21,22 e 23. Vamos analisar com base nas alternativas agora:

a) Existem 8 elementos. Incorreto, 16 e 24 não entram, logo temos somente 7 elementos.
b) Existem 3 números primos. Correto, 17, 19 e 23 são primos!
c) Há um elemento que é um quadrado perfeito. Incorreto.
d) Existem números negativos. Incorreto

Letra B