Questão 28

AFA 2020

Matemática

(AFA - 2020)

Considere as funções reais f e g definidas, respectivamente, por

$f(x) = sqrt{frac{x^{3}+x^{2}-x-1}{x-1}} - 1$

$g(x) = frac{sqrt{x^{3}+x^{2}-x-1}}{sqrt{x-1}} - 1$

Sejam:

$D(f)$ o conjunto domínio de $f$
$D(g)$ o conjunto domínio de $g$
$Im(f)$ o conjunto imagem de $f$
$Im(g)$ o conjunto imagem de $g$

Sobre as funções $f$ e $g$ , analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa.

(02) A função $f$ admite valor mínimo igual a $-1$

(04) $f$ é decrescente $Leftrightarrow$ $x in ]-infty; -2]$

(08) $D(f) = D(g)$

(16) $Im(g) subset Im(f)$

(32) $f(x) = g(x) Leftrightarrow x in ]1; +infty[$

A soma das proposições verdadeiras é

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente, vamos analisar as funções uma a uma:

Em $f(x) = sqrt{frac{x^{3}+x^{2}-x-1}{x-1}} - 1$ , o denominador pode ser rearranjado da seguinte maneira:

$f(x) = sqrt{frac{x^3-x+x^2-1}{x-1}} - 1=sqrt{frac{xleft(x^2-1 ight )+left(x^2-1 ight )}{x-1}}-1Rightarrow$

$Rightarrow fleft(x ight )=sqrt{frac{left(x^2-1 ight )cdotleft(x+1 ight )}{x-1}}-1=sqrt{frac{left(x+1 ight )left(x-1 ight )cdotleft(x+1 ight )}{x-1}}-1$

Fazendo $x eq1$ , podemos desenvolver a expressão acima:

$fleft(x ight )=sqrt{frac{left(x+1 ight )left(x-1 ight )cdotleft(x+1 ight )}{x-1}}-1=sqrt{left(x+1 ight )^2}-1$ .
Desta forma, pode-se escrever:
Resultado f(x): $fleft(x ight )=left|x+1 ight|-1$ , para $x eq1$ .
Para a função g, $g(x) = frac{sqrt{x^{3}+x^{2}-x-1}}{sqrt{x-1}} - 1$ , podemos fazer:
$g(x) = frac{sqrt{x^{3}-x+x^{2}-1}}{sqrt{x-1}} - 1=sqrt{frac{xleft(x^2-1 ight )+left(x^2-1 ight )}{x-1}}-1Rightarrow$
$Rightarrow gleft(x ight )=sqrt{frac{left(x^2-1 ight )cdotleft(x+1 ight )}{x-1}}-1=sqrt{frac{left(x-1 ight )left(x+1 ight )cdotleft(x+1 ight )}{x-1}}-1$ .
Fazendo $x eq1$ , podemos desenvolver a expressão acima:
$gleft(x ight )=sqrt{frac{left(x-1 ight )left(x+1 ight )cdotleft(x+1 ight )}{x-1}}-1=sqrt{left(x+1 ight )^2}-1$ (da mesma forma como no ponto anterior)
Resultado g(x): $gleft(x ight )=left|x+1 ight|-1$ , para $x eq1$ .
Apesar dos Resultado f(x) e g(x) serem iguais, para $gleft(x ight )$ há o denominador inicial $sqrt{x-1}$ que nos obriga a afirmar que $x-1>=0$ devido à raiz quadrada.
Logo, o domínio de $gleft(x ight )$ é $x eq1$ e $x>=1$ implicando que $x>1$ . Dessa forma podemos atualizar Resultado g(x):
Resultado g(x): $gleft(x ight )=left|x+1 ight|-1$ , para $x>1$ .
Com os Resultado f(x) e g(x) é possível determinar o conjunto domínio das funções citadas:
$Dleft(f ight )=mathbb{R}-left{1 ight}$
$Dleft(g ight )=left]1;+infty ight[$
Como $fleft(x ight )=left|x+1 ight|-1$ e $Dleft(f ight )=mathbb{R}-left{1 ight}$ , então, é fácil ver que o menor valor de $left|x+1 ight|$ é 0 (para $x=-1$ ), logo, o menor valor da função $fleft(x ight )$ é
$-1$ , daí $fleft(x ight )geq-1$ .
Como $gleft(x ight )=left|x+1 ight|-1$ e $Dleft(g ight )=left]1;+infty ight[$ , então, $left|x+1 ight| = x+1$ , já que x só assume valores acima de 1. Daí, $gleft(x ight )=left(x+1 ight)-1=x+1-1=x$ .
Já que $xinleft]1;+infty ight[$ , podemos escrever $gleft(x ight )>1$ .

Analisando as proposições da questão:

(02) Como visto pelo ponto "5." acima, o menor valor de $fleft(x ight )$ é -1. Portanto, (02) é VERDADEIRA.

(04) Se $xinleft] -infty,-2 ight ]$ , $left|x+1 ight|$ só assume valores negativos, daí $left|x+1 ight|=-left(x+1 ight )=-x-1$ . Dessa forma,

$fleft(x ight )=left|x+1 ight|-1=-x-1-1=-x-2$ .

Se $x=-2$ , $fleft(x ight )=0$ ; Se $x=-10$ , $fleft(x ight )=8$ ; Se $x=-1000$ , $fleft(x ight )=998$ ;

À primeira vista, $fleft(x ight )$ é crescente. De maneira mais precisa:

Seja $p>0$ número real qualquer. Se $f$ é decrescente, então $fleft(x ight)>fleft(x+p ight )$ .

Como obtido acima, $fleft(x ight)=-x-2$ e $fleft(x+p ight)=-left(x+p ight )-2=-x-2-p$ . Como $-x-2>-x-2-p$ , então f deve ser decrescente para este intervalo.

Porém, com este procedimento só conseguimos provar a volta da proposição " $f$ é decrescente $Leftrightarrow$ $x in ]-infty; -2]$ ". Devemos provar agora, a ida da proposição, ou seja, se $f$ é decrescente, então $x in ]-infty; -2]$ .

Repare, porém, que para $x in [-2; -1]$ , $f$ ainda pode ser expresso como $fleft(x ight )=left|x+1 ight|-1=-x-1-1=-x-2$ , como $left|x+1 ight|=-left(x+1 ight )=-x-1$ , já que $left|x+1 ight|$ é sempre ou negativo ou nulo. Para este intervalo, como visto anteriormente, $f$ também é considerado decrescente. Logo, não necessariamente $x in ]-infty; -2]$ para que $f$ seja decrescente.

Portanto, (04) é FALSA.

(08) Como visto nos pontos "5." e "6.", $Dleft(f ight ) eq Dleft(g ight )$ .

Portanto, (08) é FALSA.

(16) Também dos pontos "5." e "6." podemos ver que $fleft(x ight )geq-1$ e $gleft(x ight )>1$ , logo, $Imleft(g ight )subset Imleft(f ight )$ .

Portanto, (16) é VERDADEIRA.

(32) Se f(x) é igual a g(x), então, como $Dleft(f ight )supset Dleft(g ight )$ , então o domínio é o de g, ou seja, $xinleft]1;+infty ight[$ , já que a função limitante quanto aos possíveis valores de x é a função g.