Questão 22

AFA 2015

Matemática

(AFA - 2015)

Considere os números complexos $z_1 = x - i$ , $z_2 = frac{1}{2}i$ , $z_3 = -1 + 2i$ e $z_4 = x + yi$ em que $x ; epsilon ; mathbb{R}$ , $y ; epsilon ; mathbb{R}^*_+$ e $i^2= -1$ e as relações:

O menor argumento de todos os complexos que satisfazem, simultaneamente, as relações I e II é

Gabarito:

Resolução:

I. Aplicando o que foi dito no enunciado:

$Re(x+i-frac{1}{2}i)leq Im(x+i-frac{1}{2}i)$

Simplificando:

$Re(x+frac{1}{2}i)leq Im(x+frac{1}{2}i)$

Logo:

$xleq frac{1}{2}$

II. Aplicando o que foi dito no enunciado:

$| (-1 + 2i) cdot (x + yi)| = sqrt{5}$

Desenvolvendo:

$left|-x-2y+ileft(2x-y ight) ight|=sqrt{5}$

Aplicando a propriedade de módulo de números complexos:

$sqrt{left(-x-2y ight)^2+left(2x-y ight)^2}=sqrt{5}$

Logo,

$left(-x-2y ight)^2+left(2x-y ight)^2=5$

Desenvolvendo:

$x^2+y^2=1$

interpretando o que foi dito em I e II:

Dentre esses números complexos, o de menor argumento é o com extremidade em A, cujo argumento é α tal que cos α = 1/2 ⇔ α = π 3 rad.

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