Questão 6418

AFA 2015

Matemática

(AFA - 2015)

Nas expressões x, y e z, considere a simbologia:

log é o logaritmo decimal;
i é a unidade imaginária dos números complexos;
sen é o seno de um arco; e
n! é o fatorial de n.

então o valor de é

Gabarito:

Resolução:

$x = frac{3log(100!)}{log 1^{3} + log 2^{3} + cdots + log100^{3}} = frac{3log(100!)}{log(1cdot2cdot 3 cdots cdot 100)^{3}}$

$x = frac{3log(100!)}{3log(100!)} = 1$

---------------------------

$y = frac{i + i^{2} + i^{3} + cdots + i^{100}}{i cdot i^{2} cdots i^{100}}$

Utilizando a regra de soma de PG:

$y = frac{frac{i(i^{100} -1)}{i-1}}{i^{((a_{1} +a_{n}) frac{n}{2})}} = frac{i((i^{4})^{25}) - 1}{i-1} cdot frac{1}{i^{((1+100))frac{100}{2}}} = frac{frac{i cdot 0}{i-1}}{i^{101 cdot 50}} = 0$

-----------------------

$sen(x+2kpi) = sen x cdot cos(2kpi) + sen(2kpi)cosx = sen x$

$sen(x+(2k+1) cdot pi) = senx cos[(2k+1)pi] + sen[(2n+1) pi]cosx = -senx$

$sen alpha + sen(alpha + pi) + sen(alpha + 2pi) + cdots + sen(alpha + 99pi) =$

$= sen alpha - senalpha + senalpha - senalpha + senalpha - senalpha = 0$

Portanto:

$x^{y} + z = 1^{0} + 0 = 1$

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