Questão 7507
AFA 2012
(AFA - 2012) No plano cartesiano, a circunferência λ de equação x2 + y2 - 6x + 10y + k = 0, com k ∈ IR, determina no eixo das ordenadas uma corda de comprimento = 8.
Dessa forma, é correto afirmar que
λ é tangente ao eixo
o raio de λ é igual a
P (k , -1) ∈ λ
λ é secante à reta x = k
Gabarito:
λ é tangente ao eixo
Resolução:
Reduzindo a equação de W chegaremos a seguinte equação reduzida:
De posse dessas informações, vamos para a parte final da questão.
Usando o fato da circunferência formar, com o eixo y, uma corda de comprimento igual a 8 e sabendo que o segmento partindo do centro da circunferência até a corda corta a corda no seu ponto médio e corta perpendicularmente. Assim, teremos um triângulo formado pela corda e o raio da circunferência.
Além disso, temos que a altura desse triângulo será justamente a distância do centro da circunferência até a corda que será 3 e o cateto medirá 4, pois é a metade da corda e a hipotenusa é o raio.
Portanto, pelo teorema de pitágoras teremos:
R² = 4² + 3² = 25
Sabendo que o raio é dado pela equação inicial da circunferência por R² = 34-k, então temos que:
34-k = 25 => k=9
Ou seja, R² = 34-9 => R²=25 => R=5
Como a circunferência está centrada no ponto C(3,-5) e como o raio é R=5, então ela tangenciará o eixo OX.
Esboço:
