Questão 6472

AFA 2012

Matemática

(AFA - 2012) Considere a função real tal que _.

Sabendo-se que o conjunto A é o mais amplo possível, é verdade que

∃x ∈ A tal que g(x) = – 1.

se h(x) = – 1 + |g(x)|, então h possui raiz real.

se 0 < x < 1, então – 1 < g(x) < 0.

∃x ∈ tal que g(x) > 3.

Gabarito:

se 0 < x < 1, então – 1 < g(x) < 0.

Resolução:

O polinômio p(x) = x² - x possui valores reais para todos os reais, então o domínio é real.

O polinômio q(x) = x² + x não pode ser 0, senão g(x) não seria real. Então x² + x ≠ 0 ⇒ x(x+1) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 ou x ≠ -1.

Desse modo, o domínio A mais amplo é R - {0; -1}.

Agora veja:

a) $g(x) = -1 = frac{x^{2} -x}{x^{2} + x} = frac{x(x-1)}{x(x+1)} = frac{x-1}{x+1}$

$x-1 = (-1)(x+1) Rightarrow x-1 = -x-1 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0$

b) $h(x) = -1 + |g(x)| = 0 Rightarrow -1 + |frac{x}{x}(frac{x-1}{x+1})| = 0$

$|frac{x}{x}(frac{x-1}{x+1})| = 1$

$frac{x}{x}(frac{x-1}{x+1}) = 1 Rightarrow x-1 = x+1 Rightarrow -1 =1 (ABSURDO)$

c) $0<x<1$ ; De (a), temo que $g(x) = frac{x-1}{x+1}; x eq 0; x eq -1$

$g(0) = frac{0-1}{0+1} = -1$

$g(1) = frac{1-1}{1+1} = 0$

Disso: $-1 < g(x) < 0$

d) $g(x) > 3 Rightarrow frac{x-1}{x+1} > 3 Rightarrow frac{x-1}{x+1} -3 > 0 Rightarrow frac{x-1 -3 (x+1)}{x+1} > 0$

$frac{-2x -4}{x+1} >0$

Raízes:

$-2x -4 = 0 Rightarrow x = -2$

$x+1 = 0 Rightarrow x = -1$

Logo, g(x) < 3 para x < -2

Então o gabarito é C!

Dúvidas ou sugestões? Comentem!!

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