Questão 19

AFA 2012

Matemática

(AFA - 2012) Conforme a figura abaixo, A é o ponto de tangência das circunferências de centros C₁ C₂ e C₃. Sabe-se que os raios dessas circunferências formam uma progressão geométrica crescente.

Se os raios das circunferências de centros C₁ e C₂ medem, respectivamente, 2r e 3r, então a área da região sombreada vale, em unidades de área,

$frac{55}{8}pi r^2$

$frac{29}{4}pi r^2$

$frac{61}{8}pi r^2$

$8pi r^2$

Gabarito:

$frac{61}{8}pi r^2$

Resolução:

Dada uma PG crescente, a, b e c, temos que $b^2 = acdot c$ . Substituindo pelos raios de cada uma das circunferências, encontramos:

$R_1 cdot R_3 = R_2^2 Leftrightarrow (2r)(R_3) = (3r)^2 Leftrightarrow R_3 = frac{9pi}{2}$

Calculando as áreas sombreadas da figura, temos:

Região superior:

$frac{1}{2}cdot left [ pi R_3^2 - pi R_2^2 ight ] = frac{1}{2}cdot left [ pi left ( frac{9r}{2} ight )^2 - pi left ( 3r ight )^2 ight ] =$

$= frac{1}{2}cdot left [ pi frac{81r^2}{4} - pi 9r^2 ight ] = frac{1}{2}cdot left [ pi left (frac{81r^2 - 36r^2}{4} ight ) ight ] = frac{45pi r^2}{8}$

Região inferior:

$frac{1}{2} left [ pi(2r)^2 ight ] = 2pi r^2 = frac{16pi r^2}{8}$

Somando as duas áreas obtemos:

$frac{61pi r^2}{8}$

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