Questão 5

AFA 2012

Matemática

(AFA - 2012) Para evitar que João acesse sites não recomendados na Internet, sua mãe quer colocar uma senha no computador formada apenas por m letras A e também m letras B (sendo m par). Tal senha, quando lida da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, não deverá se alterar (Ex.: ABBA). Com essas características, o número máximo de senhas distintas que ela poderá criar para depois escolher uma é igual a

$frac{left(2m ight )!}{m!cdot m!}$

$frac{left(2m ight )!}{left(frac{m}{2} ight )!cdot left(frac{3m}{2} ight )!}$

$left[ frac{m!}{left(frac{m}{2} ight )!cdot left(frac{m}{2} ight )!} ight]^2$

$frac{m!}{left(frac{m}{2} ight )!cdot left(frac{m}{2} ight )!}$

Gabarito:

$frac{m!}{left(frac{m}{2} ight )!cdot left(frac{m}{2} ight )!}$

Resolução:

Como a senha será simétrica então temos que considerar somente a 1ª metade da senha, pois a 2ª será pré-determinada pela 1ª. Então vamos ter, na primeira metade, $frac{m}{2}$ letras A e $frac{m}{2}$ letras B, porém não há diferença entre as letras A's e nem há diferença entre as letras B, logo podemos fazer uma permutação com repetição:

$frac{(frac{m}{2} +frac{m}{2})!}{(frac{m}{2})! cdot (frac{m}{2})!}$

$frac{m!}{(frac{m}{2})! cdot (frac{m}{2})!}$

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