Questão 42

AFA 2009

Matemática

(AFA - 2009)

Considere que g : $mathbb{R}$ → B, definida por g(x) = –bx² + cx – a é função par e possui como gráfico o esboço abaixo.

Marque a alternativa INCORRETA.

A função t : $mathbb{R}$ → $mathbb{R}$ dada por t(x) = g(x) + a é positiva ∀x ∈ $mathbb{R}$ .

Se B = [– a, + $infty$ [ , então a função g é sobrejetora.

b < c < a

A função h: $mathbb{R}$ → $mathbb{R}$ dada por h(x) = – g(x) – a possui um zero real duplo.

Gabarito:

A função t : $mathbb{R}$ → $mathbb{R}$ dada por t(x) = g(x) + a é positiva ∀x ∈ $mathbb{R}$ .

Resolução:

Se g(x) é uma função par, então:

$g(x) = g(-x)$ , para todo x pertencente aos reais.

Calculando g(1) e g(-1), temos:

$g(1) = g(-1)Leftrightarrow$

$Leftrightarrow -b(1)^2+c(1)-a = -b(-1)^2+c(-1)-a Leftrightarrow$

$Leftrightarrow -b+c-a = -b-c-a Leftrightarrow$

$Leftrightarrow c = -c Leftrightarrow c = 0$

Além disso, como a parábola tem sua concavidade voltada para cima, o coeficiente do termo $x^2$ deve ser positivo. Portanto, b é um número negativo. Dessa forma teremos que $g(x) = -bx^2 - a$ . Além disso, pelo gráfico, segue que $g(0) = -a < 0 Rightarrow a > 0$ .

Com isso, vamos analisar as alternativas:

a) Incorreta. A função $t(x) = g(x) + a = -bx^2$ , terá um ponto no eixo x. Que será $t(0) = 0$ .

b) Correta. A imagem da função $g(x) = -bx^2 -a$ é $Im(g) = [-a,+infty[$ . Como essa imagem coincide com o contradomínio, temos que a função g(x) será sobrejetora.