Questão 48

AFA 2009

Matemática

(AFA - 2009)

Em relação à função real f definida por $fleft(x ight )=left| 1 - 8sen^{2}left(2x ight )cos^{2}left(2x ight ) ight|-2$ é INCORRETO afirmar que

Im(f) = [-2, -1]

tem seu valor mínimo como imagem de algum x $in$ $left[ frac{pi}{8},frac{pi}{4} ight ]$

seu período é igual a $frac{pi}{8}$

é estritamente crescente em $left[ frac{pi}{16},frac{3pi}{16} ight ]$

Gabarito:

é estritamente crescente em $left[ frac{pi}{16},frac{3pi}{16} ight ]$

Resolução:

A função é $fleft(x ight )=left|1-8sen^2left(2x ight )cos^2left(2x ight ) ight|-2$ .

$8sen^2left(2x ight )cos^2left(2x ight )=left(2sqrt{2} ight )^2cdotleft(senleft(2x ight ) cosleft(2x ight ) ight )^2=left(sqrt{2}cdot2senleft(2x ight )cosleft(2x ight ) ight )^2$ . Porém, $senleft(4x ight )=2senleft(2x ight )cosleft(2x ight )$ , então:
$8sen^2left(2x ight )cos^2left(2x ight )=left(sqrt{2}cdot2senleft(2x ight )cosleft(2x ight ) ight )^2=left(sqrt{2}cdot senleft(4x ight ) ight )^2=2cdot sen^2left(4x ight )$

Daí, f fica: $fleft(x ight )=left|1-2sen^2left(4x ight ) ight|-2$ .

Para $1-2sen^2left(4x ight )geq0Rightarrow sen^2left(4x ight )leqfrac{1}{2}$ , então $left|1-2sen^2left(4x ight ) ight|=1-2sen^2left(4x ight )$ . Daí, $fleft(x ight )=1-2sen^2left(4x ight )-2=-2sen^2left(4x ight )-1$ . O maior valor desta função é para $sen^2left(4x ight ) = 0Rightarrow f(x)=-1$ e o menor valor é para $sen^2left(4x ight ) = frac{1}{2}Rightarrow f(x)=-2$ , quando $sen^2left(4x ight )leqfrac{1}{2}$ .
Para $1-2sen^2left(4x ight )<0Rightarrow sen^2left(4x ight )>frac{1}{2}$ , então $left|1-2sen^2left(4x ight ) ight|=2sen^2left(4x ight )-1$ . Daí, $fleft(x ight )=2sen^2left(4x ight )-1-2=2sen^2left(4x ight )-3$ . O menor valor desta função é para $sen^2left(4x ight ) simeq frac{1}{2}Rightarrow f(x)simeq -2$ e o maior valor é para $sen^2left(4x ight ) = 1Rightarrow f(x)=-1$ , quando $sen^2left(4x ight )>frac{1}{2}$ .

Portanto, pode-se afirmar, dado a análise de todas as possibilidades de condições para a função $fleft(x ight )=left|1-2sen^2left(4x ight ) ight|-2$ , que o valor mínimo de f é -2 e o valor máximo de f é -1. Logo, a imagem de f é Im(f) = [-2, -1], implicando que a letra A é correta.

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O valor mínimo de f é -2, como visto acima. Este valor de f é obtido quando $sen^2left(4x ight )=frac{1}{2}$ . O menor arco tal que o seno deste arco dê 0,5 é o arco de 45º. Logo,
$\ sen^2left(4x ight )=frac{1}{2}Rightarrow senleft(4x ight )=pm frac{sqrt{2}}{2} ightarrow \ Para ; sin left(4x ight)=frac{sqrt{2}}{2} ightarrow x=frac{pi }{16}+frac{pi n}{2},:x=frac{3pi }{16}+frac{pi n}{2} \ Para ; sin left(4x ight)=-frac{sqrt{2}}{2} ightarrow x=frac{5pi }{16}+frac{pi n}{2},:x=frac{7pi }{16}+frac{pi n}{2}$ .

Logo, a letra B é correta, já que x = $frac{3pi}{16}$ pertence ao intervalo descrito nesta alternativa.

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Para descobrirmos a periodicidade desta função $fleft(x ight )=left|1-2sen^2left(4x ight ) ight|-2$ , devemos fazer f(x) = f(x + p), sendo p o menor número real diferente de zero tal que esta relação ocorra (p é, portanto, o período da função):
$fleft(x+p ight )=left|1-2sen^2left(4x+4p ight ) ight|-2=left|1-2sen^2left(4x ight ) ight|-2Rightarrow\ left|1-2sen^2left(4x+4p ight ) ight|=left|1-2sen^2left(4x ight ) ight|$
Substituindo $4x$ e $4x+4p$ por $heta$ e $heta+4p$ , então: $left|1-2sen^2left(4x+4p ight ) ight|=left|1-2sen^2left(4x ight ) ight|Rightarrow left|1-2sen^2left( heta+4p ight ) ight|=left|1-2sen^2left( heta ight ) ight|$ .
Vamos considerar, conforme a alternativa C, que $p=frac{pi}{8}$ , então:
$left|1-2sen^2left( heta+4p ight ) ight|=left|1-2sen^2left( heta+frac{pi}{2} ight ) ight|=left|1-2left(sen heta cosfrac{pi}{2}+senfrac{pi}{2}cos heta ight)^2 ight|=left|1-2left(cos heta ight)^2 ight|=left|1-2cos^2 heta ight|=left|1-2sen^2 heta ight|$
Sabe-se que $left|1-2cos^2 heta ight|=left|1-2sen^2 heta ight|$ é verdade. A prova vem elevando-se os dois lados ao quadrado:
$1-4cos^2 heta+4cos^4 heta=1-4sen^2 heta+4sen^4 hetaRightarrow 4left(sen^2 heta-cos^2 heta ight )=4left(sen^4 heta -cos^4 heta ight )=4left(sen^2 heta-cos^2 heta ight)left(sen^2 heta+cos^2 heta ight )$
Está provado, portanto, que para qualquer $heta$ , ou seja, para qualquer x, $p=frac{pi}{8}$ é período de f(x). Portanto, a letra C é correta!

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Uma função é estritamente crescente quando, para um x₁ < x₂, f(x₁) sempre será menor que f(x₂).
Como x₁ = $frac{pi}{16}$ e x₂ = $frac{3pi}{16}$ e, portanto, x₂ - x₁ = $frac{3pi}{16}-frac{pi}{16}=frac{2pi}{16}=frac{pi}{8}=p$ , então f(x₂) = f(x₁), já que x₂ = x₁ + p => f(x₁ + p) = f(x₁). Logo, a letra D é errada!

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Portanto, a alternativa correta é a Letra D.

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