Questão 49

AFA 2009

Matemática

(AFA - 2009)

Considere num mesmo plano os pontos da figura abaixo, de tal forma que:

A área da região sombreada da figura, em função de a, é

$6a^2-4a^2sqrt{2}$

$6a^2+4a^2sqrt{2}$

$12a^2+4a^2sqrt{2}$

$12a^2-8a^2sqrt{2}$

Gabarito:

$6a^2-4a^2sqrt{2}$

Resolução:

Das afirmações do enunciado, percebemos que os triângulos hachurados são congruentes. Vamos considerar $t$ a medida dos catetos desses triângulos.

Tome o lado $overline{PC}$ . Observe então que $overline{PQ}=overline{BC}=t$ e que o segmento $overline{QB}$ é a hipotenusa do $Delta AQB$ e mede $overline{QB}=tsqrt2$

Logo, temos: $overline{PC}=a ightarrowoverline{PQ}+overline{QB}+overline{BC}=a$ $ightarrow t+tsqrt2+t=a ightarrow t(2+sqrt2)=a$

$ightarrow t=frac{a}{(2+sqrt2)} ightarrow t=frac{a}{(2+sqrt2)}.frac{(2-sqrt2)}{(2-sqrt2)} ightarrow t=frac{a(2-sqrt2)}{2}$

Com isso, a área da região sombreada é igual a oito vezes a área do $Delta AQB$

$A=8*frac{t.t}{2} ightarrow A=4*left(frac{a^2(2-sqrt2)^2}{2^2} ight ) ightarrow A=a^2(4-4sqrt2+2)$

Portanto, temos $A=a^2(6-4sqrt2)$ , ou ainda $A=6a^2-4a^2sqrt2)$

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