Questão 30

AFA 2009

Matemática

(AFA - 2009)

João Victor e Samuel são dois atletas que competem numa mesma maratona. Num determinado momento, João Victor encontra-se no ponto M, enquanto Samuel encontra-se no ponto N, 5 m à sua frente. A partir desse momento, um observador passa a acompanhá-los registrando as distâncias percorridas em cada intervalo de tempo de 1 segundo, conforme tabelas abaixo.

Sabe-se que os números da tabela acima que representam as distâncias percorridas por João Victor formam uma progressão geométrica, enquanto os números da tabela acima que representam as distâncias percorridas por Samuel formam uma progressão aritmética.

Com base nessas informações, é INCORRETO afirmar que ao final do

A

5^o segundo, João Victor já terá atingido o ponto N

B

5^o segundo, Samuel percorreu uma distância igual à que os separava nos pontos M e N

C

6^o segundo, João Victor terá alcançaAsdo Samuel

D

8^o segundo, João Victor estará mais de 8 metros à frente de Samuel

Gabarito:

6^o segundo, João Victor terá alcançaAsdo Samuel

Resolução:

As distâncias em cada intervalo de João Victor seguem um PG. Calculando a razão:

$d_2 = d_1 cdot q$

$q = frac{frac{3}{4}}{frac{1}{2}}$

$q = frac{3}{2}$

Então a distância no n-ésimo intervalo será dada por:

$d_n = frac{1}{2}cdot (frac{3}{2})^{n-1}$

A distância total será de:

$D_J = frac{frac{1}{2}[(frac{3}{2})^n-1]}{frac{3}{2}-1}$

$D_J =(frac{3}{2})^n -1$

As distâncias de Samuel formam uma PA. Encontrando a razão:

$d_2 = d_1 + r$

$r = frac{3}{4} - frac{1}{2} = frac{1}{4}$

Então a distância no n-ésimo intervalo:

$d_n = d_1 + (n-1)r$

$d_n = frac{1}{2} + frac{(n-1)}{4}$

Com isso podemos encontrar a soma da PA:

$D_S = (frac{3+n}{8})n$

Após $n$ segundos a partir do ponto $M$ , João Victor está na posição $J=(frac{3}{2})^n-1$ e Samuel no ponto:

$S=5+(frac{3+n}{8})n = frac{n^2+3n+40}{8}$

Vendo os segundos:

$n=5$ :

. $J=(frac{3}{2})^5-1 = frac{211}{32} approx 6,6$ m

. $S= frac{5^2+3cdot 5+40}{8} = 10$ m

$n=6$ :

. $J=(frac{3}{2})^6-1 = frac{665}{64} approx 10,4$ m

. $S= frac{6^2+3cdot 6+40}{8} = 11,75$ m

$n=8$ :

. $J=(frac{3}{2})^8-1 = frac{6305}{256} approx 24,6$ m

. $S= frac{8^2+3cdot 8+40}{8} = 16$ m

Então podemos ver que a única opção correta é C

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