Questão 10
ENEM 2014
(ENEM - 2014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira:
- A nota zero permanece zero.
- A nota 10 permanece 10.
- A nota 5 passa a ser 6.
A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é
Gabarito:
Resolução:
Como a função f(x) tem grau menor que 3, então o seu grau pode ser 0, 1 ou 2. Logo, f(x) pode ser escrita da seguinte forma:
f(x) = ax2 + bx + c, onde a,b e c são números reais.
De acordo com o professor:
1) a nota zero permanece zero: f(0) = 0, então a*0² + b*0 + c = 0, então c = 0;
2) a nota 10 permanece 10: f(10) = 10, então a*(10)² + b*10 + c = 10, então 100a + 10b - 10 = 0;
3) a nota 5 passa a ser 6: f(5) = 6, então a*(5)² + b*5 + c = 6, então 25a + 5b - 6 = 0;
Agora, sabendo que c = 0, basta-nos resolver um sistema com as equações dadas em (2) e (3) para encontrar os valores de a e b:
100a + 10b - 10 = 0
25a + 5b - 6 = 0
Multiplicando a segunda equação por 2, temos:
100a + 10b - 10 = 0
50a + 10b - 12 = 0
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
(100 - 50)a + (10 - 10)b - 10 -(-12) = 0, então
50a + 2 = 0
Logo, a = -1/25
Substituindo a na equação dada em (2) ou (3), temos que:
b = 7/5
Sendo assim,