Questão 78445

ENEM 2013

Matemática

(ENEM PPL - 2013)

O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura:

Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O valor em m² mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é

(Aproxime $sqrt{3}$ para 1,7 e $pi$ para 3.)

30.

34.

50.

61.

69.

Gabarito:

61.

Resolução:

De acordo coma a imagem acima, temos que:

$\ AB^{2} = 5^{2} -2,5^{2} \ \ AB = sqrt{25 - 6,25} = sqrt{25 - 6,25} = sqrt{18,75} = sqrt{frac{1875}{100}} = sqrt{frac{5^{2}.5^{2}.3}{10^2}} = \ \ AB = frac{25}{10}sqrt{3} = frac{5}{2}sqrt{3}$

Portanto, a área do triângulo ABC: $frac{frac{5sqrt{3}}{2}frac{5}{2}}{2} = frac{25sqrt{2}}{8}$

Temos que o ângulo $cos (alpha) = frac{frac{5}{2}}{5} = frac{1}{2} = 60^{circ}$

Com isso podemos perceber que: $eta = 180 - 60 = 120^{circ}$

Área do setor circular de ângulo: $eta$

$pi r^2cdotfrac{frac{2pi}{3}}{2pi}=frac{pi r^2}{3}=frac{25pi}{3}$

Logo, o valor em $m^{2}$ mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é:

$2cdotleft(frac{25sqrt{3}}{8}+frac{25pi}{3} ight)approx2cdotleft(frac{25cdot1,7}{8}+frac{25cdot3}{3} ight)=60,625$

Gabarito: D

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