Questão 17585

ENEM 2013

Matemática

(ENEM - 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF ?

1 m

2 m

2,4 m

3 m

Gabarito:

2,4 m

Resolução:

A semelhança entre os triângulos AEC e DEB pode ser provada utilizando ângulos opostos pelo vértice e ângulos alternos internos.

Desta forma, podemos ver que a razão de semelhança entre estes triângulos é:

$frac{BD}{AC}= frac{6}{4}=frac{3}{2}$

Assim, se o lado AE mede $x$ , DE mede $frac{3}{2}x$ .

Os triângulos AEF e ADB também são semelhantes (vértice comum com bases paralelas), logo:

$frac{EF}{AE}=frac{BD}{AD}$

$frac{h}{x}=frac{6}{x + frac{3}{2}x}$

$frac{h}{x}=frac{6}{frac{5}{2}x}$

$frac{5}{2}x cdot h = 6 cdot x$

Simplificando:

$frac{5}{2} cdot h = 6$

$h = frac{2 cdot 6}{5}$

$h = frac{12}{5} = 2,4$

Alternativa letra C.

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