Questão 12110

ENEM 2012

Matemática

(ENEM - 2012) José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto, José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4 : 4 : 2 , respectivamente.

Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?

600, 550, 350

300, 300, 150

300, 250, 200

200, 200, 100

100, 100, 50

Gabarito:

300, 300, 150

Resolução:

$\\ ext{Sejam } J ext{, } C ext{ e } P ext{ as quantidades de laranjas transportadas por José, Carlos e Paulo, respectivamente e seja ainda } N ext{ a quantidade total de laranjas. Dessa forma, tem-se que:} \\ (i);J+C+P=N\\ ext{Das proporções, segue que:} \\ (ii);frac{J}{6}=frac{C}{5}=frac{P}{4}=k ext{, em que } k ext{ é a constante de proporcionalidade. Logo:} \\J=6k,;C=5k,;P=4k;;Rightarrow;;N=6k+5k+4k=15k;; herefore;;N=15k\\$

$\\ (iii);frac{J}{4}=frac{C}{4}=frac{P}{2}=p ext{, em que } p ext{ é outra constante de proporcionalidade. Logo:} \\J=4p,;C=4p,;P=2p;;Rightarrow;;N=4p+4p+2p=10p;; herefore;;N=10p\\ ext{Agora, testando as possibilidades para quem levou 50 laranjas a mais no segundo transporte: } \\ (I) ext{ se foi José, então: } 6k+50=4p;;Rightarrow;;6cdotfrac{N}{15}+50=4cdotfrac{N}{10};;Rightarrow;;frac{2N}{5}+50=frac{2N}{5};;Rightarrow;;50=0,;; ext{Absurdo! Logo, não foi José!} \\ (II) ext{ se foi Paulo, então: } 4k+50=2p;;Rightarrow;;4cdotfrac{N}{15}+50=2cdotfrac{N}{10};;Rightarrow;;frac{2N}{15}+25=frac{N}{10};;Rightarrow;;frac{-N}{15}=25;;Rightarrow;;N<0,;; ext{Absurdo! Logo, não foi Paulo!} \\$

$\\ (III) ext{ se foi Carlos, então: } 5k+50=4p;;Rightarrow;;5cdotfrac{N}{15}+50=4cdotfrac{N}{10};;Rightarrow;;frac{N}{3}+50=frac{2N}{5};;Rightarrow;;frac{N}{15}=50;;Rightarrow;;oxed{N=750};; ext{Logo, foi Carlos!} \\ ext{Assim, pode-se concluir que: } k=frac{N}{15};;Rightarrow;;k=frac{750}{15}=50\\ herefore;;oxed{J=300,;C=300 ext{ e } P=150}$

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