Questão 37747

ENEM 2009

Matemática

(ENEM cancelado 2009) Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região S de maior luminosidade, conforme a figura.

Área do setor circular: $A_{SC}=frac{alpha R^2}{2}$ , $alpha$ em radianos.

A área da região S, em unidades de área, é igual a:

$frac{2pi R^2}{3}-frac{sqrt 3 R^2}{2}$

$frac{(2pi -3sqrt 3)R^2}{12}$

$frac{pi R^2}{12} - frac{R^2}{8}$

$frac{pi R^2}{2}$

$frac{pi R^2}{3}$

Gabarito:

$frac{2pi R^2}{3}-frac{sqrt 3 R^2}{2}$

Resolução:

Repare na figura que temos dois triângulos equiláteros de lado R, repare também no setor circular.

Para calcular a área da região S, precisamos somar o setor circular da circunferência (em laranja na figura) formada pelo holofote H2 com o setor circular da circunferência formada pelo holofote H1, mas repare que nisso, iremos somar a região formada pelo paralelogramo duas vezes, então precisamos subtrair apenas uma vez esse paralelogramo, que é formado por dois triângulos equiláteros, bom, agora é só resolver:

$A_{S} = 2A_{SetorCircular}-A_{Paralelogramo}$

$A_{SetorCircular}=pi R^{2}frac{120}{360} ightarrow A_{SetorCircular}=frac{pi R^{2}}{3}$

$A_{Paralelogramo}=2A_{Triangulo}$

$A_{Triangulo}=R.R.sin60^circ .frac{1}{2} ightarrow A_{Triangulo}=frac{R^{2}sqrt{3}}{4}$

$A_{Paralelogramo}=2frac{R^{2}sqrt{3}}{4} ightarrow A_{Paralelogramo}=frac{R^{2}sqrt{3}}{2}$

$A_{S} = oxed{frac{2pi R^{2}}{3}-frac{R^{2}sqrt{3}}{2}}$

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