Questão 7795

Matemática

(VUNESP - 84) Seja V o volume do cubo de aresta a e W o volume do tetraedro regular de aresta a. Então V = kW, onde:

5 < k < 6

6 < k < 7

7 < k < 8

8 < k < 9

9 < k < 10

Gabarito: 8 < k < 9

Resolução:

Primeiramente vamos calcular o valor de $m$ que é igual a $frac{2}{3}$ do valor da altura do triângulo da base.

E sabendo que a altura do triângulo equilátero é $frac{lcdot sqrt{3}}{2}$

Vem:

$m=frac{2}{3}cdotfrac{ lsqrt{3}}{2}$

$m=frac{lsqrt{3}}{3}$

Agora para achar o valor da altura do tetraedro, basta aplicar pitágora no triângulo em amarelo, ficando:

$l^2=m^2+h^2$

$h^2=l^2-m^2$

$h^2=l^2-left (frac{lsqrt{3}}{3} ight )^2$

$h^2=frac{2}{3}cdot l^2$

$h=frac{sqrt{6}}{3}cdot l$

Agora basta aplicar a fórma do volume, que é:

$V=frac{1}{3}cdot A_{base}cdot H_{altura}$

E sabendo que o volume da área da base do triângulo equilátero é igual a:

$A=l^2cdot frac{sqrt{3}}{4}$

Vem que:

$V=frac{1}{3}cdot l^2cdot frac{sqrt{3}}{4}cdot frac{sqrt{6}}{3}cdot l$

$V=frac{l^3cdot sqrt{2}}{12}$

Agora basta fazer a razão entre o volume do cubo, pelo volume do tetraedro.

$k=frac{V_{cubo}}{V_{tetraedro}}$

$k=frac{a^3}{frac{sqrt{2}}{12}}=frac{12}{sqrt{2}}$

$k=6cdot sqrt{2}$

$kcong 8,485$