Questão 69705

UTFPR 2016

Matemática

(UTFPR 2016)

Simplificando a expressão $frac{2+frac{1}{sqrt{2}}}{sqrt{2}-1}$ obtemos:

$frac{11sqrt{2}}{2}$

$frac{sqrt{2}}{2}+3$

$frac{7}{2}+2sqrt{2}$

$3+frac{5sqrt{2}}{2}$

$frac{2+3sqrt{2}}{2}$

Gabarito:

$3+frac{5sqrt{2}}{2}$

Resolução:

Para resolver esta questão com mais facilidade e organização, vou separá-la em partes.

Começando pelo numerador:

$2+frac{1}{sqrt{2}}$

Aplicando a base comum:

$frac{2sqrt{2}+1}{sqrt{2}}$

Racionalizando:

$frac{2sqrt{2}+1}{sqrt{2}} cdot frac{sqrt{2}}{sqrt{2}}$

$frac{2sqrt{2}+1}{sqrt{2}} cdot frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{2 cdot 2 + sqrt{2}}{2}= frac{4+sqrt{2}}{2}$

Assim, o número que temos na expressão é:

$frac{frac{4+sqrt{2}}{2}}{sqrt{2}-1}$

Podemos reescrevê-lo como:

$frac{4+sqrt{2}}{2cdot(sqrt{2}-1)}$

E racionalizar:

$frac{4+sqrt{2}}{2cdot(sqrt{2}-1)} cdot frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}+1}$

$frac{4sqrt{2}+4 + sqrt{2}^1 + sqrt{2}}{2 cdot (sqrt{2}^2 - 1^2)}=frac{5sqrt{2}+6}{2 }$

Separando:

$frac{5sqrt{2}+6}{2 } = frac{5sqrt{2}}{2}+ frac{6}{2}= 3+frac{5sqrt{2}}{2}$

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